MathBlog

Зазвичай, коли нам пропонується розв'язати систему рівнянь, то для цього доводиться використовувати або метод підстановки, або метод додавання, в крайньому випадку графічний метод. В будь-якому разі доводиться возитися з обома рівняннями, оскільки вони обидва пов'язані одне з одним. Однак, у збірнику Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад.: А.М.Капіносов [та ін.]. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2018 є цікаве завдання 12.41, де розв'язування системи ірраціональних рівнянь можна звести лише до одного рівняння. Отже, ось воно, це завдання: Починаємо з ОДЗ і встановлюємо, що  , а  . Що далі? Звісно, далі можна підносити обидва рівняння системи до квадрата, позбуватися коренів і пробувати звести розв'язування до, наприклад, метода підстановки. Довго, складно, громіздко... Однак, якщо уважно розглянути цю систему: то нескладно помітити, що його перше і друге рівняння практично однакові ! Якщо у першому рівнянні замінити  на , а на , то ми отримаємо дру...

Продовжуємо розв'язувати ірраціональні рівняння зі збірника завдань для підготовки до ЗНО і ДПА А.М.Капіносова. На цей раз розглянемо цікаве рівняння №12.44 (Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад.: А.М.Капіносов [та ін.]. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2018.). Розв'яжемо рівняння . Почнемо з ОДЗ:  Тепер застосуємо традиційний спосіб розв'язування: перенесемо в праву частину і піднесемо обидві частини до степеня. Оскільки маємо корені третього і другого степенів, то підносити будемо до степеня 6 (НСК чисел 2 і 3), щоб можна було скоротити показники степенів і коренів. Що далі? Розкривати дужки у лівій і правій частинах? Щоб що? Щоб отримати повне рівняння третього степеня ? А далі? 😕 💡 А придивимось-но до останнього рядка:  ! Чи є таке число, яке можна було б представити і у вигляді квадрата, і у вигляді куба? Так, є! Це число 64, адже  і . Тоді виходить, що: Оскільки  , то, очевидно, це число і є розв'язком рівняння. Дійсно, перевірка по...

А ось приклад громіздкого, на перший погляд, рівняння, яке стає простим, якщо дописати в нього те, чого там не було. Розв'яжемо таке рівняння: Очевидно, братися за цей приклад традиційними методами - страшнувато. Корені аж в трьох місцях та ще й вираз без коренів у правій частині плутається під ногами. Якщо підносити усе до квадрата, то отримаємо: Не додає оптимізму... І це тільки початок! Очевидно, якщо продовжувати далі в такому ж дусі - усе ставатиме тільки гірше. Що робити? А погляньмо уважно на вираз  у лівій частині рівняння! Звернімо увагу на те, що там спочатку стоїть сума виразів і , а потім їх же подвоєний добуток! А де нам зустрічалося щось схоже на це? Точно! Подвоєний добуток у нас з'являється у формулі квадрата суми чи квадрата різниці. От їх і використаємо! Оскільки перед подвоєним добутком у нашому виразі стоїть знак "плюс", то будемо думати про квадрат суми. Для повного "щастя", щоб остаточно перетворитися на квадрат суми, нашому подвоєно...