MathBlog

Розв'язування зведених квадратних рівнянь найчастіше починають зі спроби використання теореми Вієта (якщо точніше, то теореми, оберненої до теореми Вієта). Однак, не всі зведені квадратні рівняння можуть мати такі коефіцієнти, що множники/доданки легко підібрати усно. В цьому разі раціональним буде не витрачати час на безуспішні спроби, а одразу перейти до розв'язування рівняння стандартним способом - через дискримінант. От тільки труднощів можна й не лякатися, оскільки для такого випадку існує простий спосіб, який не веде до дискримінанту. Спробуймо розв'язати таке рівняння:  . Ну як? Які числа помножити, щоб отримати 217? Ну ж бо, усно! 🤯 Так, проблемно! 😞 Якщо не зачіпати дискримінант, то є ще метод виділення повного квадрата. Ну, хай буде, можна спробувати: А тепер звернемо увагу ось на це місце отриманого рівняння:  . Усім видно тут різницю квадратів? От її й розпишемо за формулою: Замінимо  на  і продовжимо розв'язування: От тепер підставляємо отриман...

Жили собі були раціональні дроби. А їх узяли й додали. Визначили спільний знаменник, домножили чисельники на додаткові множники звели подібні доданки, словом, знущалися, як тільки могли! І в результаті замість кількох дробів став один. А чи можна "відмотати" усе назад і розкласти отриманий дріб на доданки, які були раніше? Якщо у когось в такому зворотному перетворенні виникла потреба - ловіть "рецепт", як це робиться ! Такий спосіб "розщепити" усе назад на "атоми" є. Називається він метод невизначених коефіцієнтів . Розглянемо, як він працює, для початку на такому прикладі:  . Спробуємо перетворити цей дріб на суму (або різницю) дробів. Очевидно, що ця сума (різниця) раніше мала якийсь такий вигляд:  . Після зведення цих дробів до спільного знаменника матимемо:  . В результаті ж виконаних перетворень в чисельнику було отримано 1, а в знаменнику  . Зрозуміло, що цей вираз було отримано як добуток знаменників обох дробів  . Тому починаємо наш рух ...