Поверніть усе як було!
Такий спосіб "розщепити" усе назад на "атоми" є. Називається він метод невизначених коефіцієнтів.
Розглянемо, як він працює, для початку на такому прикладі: .
Спробуємо перетворити цей дріб на суму (або різницю) дробів. Очевидно, що ця сума (різниця) раніше мала якийсь такий вигляд: . Після зведення цих дробів до спільного знаменника матимемо:
. В результаті ж виконаних перетворень в чисельнику було отримано 1, а в знаменнику
. Зрозуміло, що цей вираз було отримано як добуток знаменників обох дробів
. Тому починаємо наш рух назад з розкладання знаменника новоотриманого дробу на множники.
Зробити це зовсім не складно, якщо ми знаємо, як виглядає формула розкладання квадратного тричлена на множники:
,
де - корені квадратного тричлена
, і їх знавці теореми Вієта одразу ж і назвуть: 2 і 3 (ну а незнавці довго й нудно шукатимуть дискримінант і далі розв'язуватимуть квадратне рівняння
за формулами, рано чи пізно теж отримавши той самий результат: 2 і 3).
Отже, вираз розкладеться на множники так:
.
Таким чином, отримуємо знаменники тих двох дробів, які були ДО їх додавання і тоді виходить, що наша попередня сума схематично мала такий вигляд: .
Що ж там було замість трикутника й зірочки?
Щоб легше було записувати подальші перетворення, трикутник позначимо як А, а зірочку як В:
Оце вони й є - ті самі невизначені коефіцієнти, "іменем" яких і названо розглядуваний метод.
А тепер виконаємо з правою частиною утвореної рівності те, що виконуємо зазвичай, коли додаємо дроби з різними знаменниками - зведемо до спільного знаменника:
Оскільки, як ми вже знаємо, , то значить знаменники наших дробів рівні. Тоді, виходить, що коли дроби рівні і їх знаменники рівні, то й їх чисельники теж рівні:
.
Перетворимо утворену рівність:
Якщо тепер порівняти ліву й праву частини отриманої рівності, тоді виходить, що значення виразу повинне дорівнювати нулю, оскільки в правій частині виразу зі змінною х немає. В цей же час вираз
повинен давати нам одиницю. Оскільки ці дві умови повинні виконуватися одночасно - складемо систему рівнянь:
Усе, що залишається зробити - розв'язати цю систему й дізнатися значення змінних А і В:
Все! Підставляємо отримані значення А і В у чисельники дробів і дізнаємося, що дріб можна подати у вигляді суми
, тобто
. (А хто не вірить, що це справді так, легко може перевірити просто виконавши віднімання отриманих дробів.)
Тепер уже можна усе те, до чого ми дійшли інтуїтивно, сформулювати у вигляді певних правил розкладання дробу на доданки методом невизначених коефіцієнтів:
- Розкласти знаменник дробу, який подаємо у вигляді суми/різниці, на множники.
- Створити стільки дробів, скільки у нас вийшло множників і записати їх через "плюс", а самі множники записати у відповідні знаменники утворених дробів.
- А тепер важливо! Чисельники дробів-доданків утворюються так: у чисельнику записуємо многочлен, степінь якого повинен бути на 1 меншим за степінь знаменника. Наприклад, якщо в знаменнику стоїть
(многочлен першого степеня), то в чисельник пишемо
(многочлен нульового степеня); якщо в знаменнику стоїть
(многочлен другого степеня), тоді в чисельник потрібно записати
(многочлен першого степеня).
- Ще одне! Якщо в знаменнику опиняється многочлен у степені, наприклад, такий:
, то такий знаменник відображається відповідно трьома дробами зі знаменниками
і
.
- Далі зводимо дроби-доданки до спільного знаменника: визначаємо додаткові множники, множимо чисельники на ці додаткові множники, зводимо подібні доданки.
- Після цього прирівнюємо отримані коефіцієнти при відповідних степенях змінних до відповідних коефіцієнтів у чисельнику-оригіналі і розв'язуємо отриману систему рівнянь.
1️⃣ Розкладаємо знаменник на множники: .
2️⃣ Кожний множник записуємо в окремий знаменник, а в чисельниках записуємо многочлени нульового степеня (без х), оскільки усі знаменники - першого степеня:
3️⃣ Зводимо дроби в правій частині рівності до спільного знаменника:
4️⃣ Прирівнюємо чисельники: .
5️⃣ Тепер, порівнюючи коефіцієнти при змінній у відповідних степенях, формуємо систему рівнянь:
6️⃣ Розв'язуємо систему:
Отже, дріб розкладається на доданки так: .
Розглянемо дещо складніший Приклад 2: .
На наше щастя, знаменник на множники тут уже усе розкладено але у першій дужці многочлен другого степеня, а у другій - многочлен у квадраті. Тому в першому чисельнику слід буде поставити многочлен першого степеня (на 1 менше), а другий многочлен у знаменниках доведеться повторити двічі (спочатку у другому степені, а потім у першому):
Далі усе за тим самим "сценарієм":
Отже, розставляючи тепер усі отримані коефіцієнти по місцях у нашому прикладі-шаблоні (*), отримуємо:
Ну й, нарешті, ще одне питання: "А для чого усе це може знадобитися?"
Річ у тім, що розкладання раціонального дробу на доданки може стати в нагоді не тільки в ході перетворення раціональних виразів. Одне з популярних сфер застосування цього прийому - інтегрування. Ось, наприклад, як обчислити Приклад 3: ?
Почнемо з перетворення підінтегрального виразу. Розкладемо його на доданки методом невизначених коефіцієнтів.
Після того, як повідкриваємо дужки у лівій частині рівності й погрупуємо отримані доданки навколо змінної х у відповідних степенях, отримаємо:
На основі цієї рівності, співставляючи коефіцієнти при змінній х у відповідних степенях, складаємо систему:
Розв'язуючи цю систему отримуємо, що
Це означає, що , або ж
"Відправляємо" тепер цей набір доданків під знак інтеграла:
...і інтегруємо, спираючись на властивості інтеграла (інтеграл суми/різниці дорівнює сумі/різниці інтегралів, константу можна винести за знак інтеграла) і таблицю первісних, а також використовуємо зведення дробів до спільного знаменника й властивості логарифмів:
Тепер хочеться потренуватися? Будь ласка!
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
;
6) ; 7)
; 8)
; 9)
; 10)
.
Якщо хочеться такого самого тільки з інтегралами - теж можна:
11) ; 12)
; 13)
;
14) ; 15)
(У завданнях 12 і 15 перш ніж застосовувати метод невизначених коефіцієнтів спочатку можна розділити чисельник на знаменник, а потім уже розкладати на доданки дріб, який залишиться після цього ділення)