MathBlog

Розв'язування зведених квадратних рівнянь найчастіше починають зі спроби використання теореми Вієта (якщо точніше, то теореми, оберненої до теореми Вієта). Однак, не всі зведені квадратні рівняння можуть мати такі коефіцієнти, що множники/доданки легко підібрати усно. В цьому разі раціональним буде не витрачати час на безуспішні спроби, а одразу перейти до розв'язування рівняння стандартним способом - через дискримінант. От тільки труднощів можна й не лякатися, оскільки для такого випадку існує простий спосіб, який не веде до дискримінанту. Спробуймо розв'язати таке рівняння:  . Ну як? Які числа помножити, щоб отримати 217? Ну ж бо, усно! 🤯 Так, проблемно! 😞 Якщо не зачіпати дискримінант, то є ще метод виділення повного квадрата. Ну, хай буде, можна спробувати: А тепер звернемо увагу ось на це місце отриманого рівняння:  . Усім видно тут різницю квадратів? От її й розпишемо за формулою: Замінимо  на  і продовжимо розв'язування: От тепер підставляємо отриман...

Зазвичай, коли нам пропонується розв'язати систему рівнянь, то для цього доводиться використовувати або метод підстановки, або метод додавання, в крайньому випадку графічний метод. В будь-якому разі доводиться возитися з обома рівняннями, оскільки вони обидва пов'язані одне з одним. Однак, у збірнику Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад.: А.М.Капіносов [та ін.]. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2018 є цікаве завдання 12.41, де розв'язування системи ірраціональних рівнянь можна звести лише до одного рівняння. Отже, ось воно, це завдання: Починаємо з ОДЗ і встановлюємо, що  , а  . Що далі? Звісно, далі можна підносити обидва рівняння системи до квадрата, позбуватися коренів і пробувати звести розв'язування до, наприклад, метода підстановки. Довго, складно, громіздко... Однак, якщо уважно розглянути цю систему: то нескладно помітити, що його перше і друге рівняння практично однакові ! Якщо у першому рівнянні замінити  на , а на , то ми отримаємо дру...

Ні-ні, до міфічних вовкулаків усе це не має жодного стосунку. Однак, перетворення одного на друге тут наявне. Мова йде про парочку виразів вигляду і , тобто, де основа степеня й підлогарифмений вираз міняються місцями і таким чином один вираз перетворюється на інший. Оскільки основа степеня, основа логарифма й підлогарифмений вираз різні, то виникає проблема: а як таке обчислити? Тож продовжуємо розмову про мої улюблені логарифми . Розглянемо такий приклад :  . До основної логарифмічної тотожності   ані зменшуване, ані від'ємник явно "не дотягують", тому що тут основа степеня й основа логарифма РІЗНІ. Однак, що називається, "зачепитися" за основну логарифмічну тотожність, щоб розв'язати цей приклад, цілком можна. Представимо за її допомогою основи степенів:   і  . А тепер замінимо основи степенів на нові вирази:  . Як відомо, при піднесенні степеня до степеня показники перемножуються:  . От саме це і зробимо, отримавши внаслідок таке:  . Як ...