Замість системи розв'язуємо тільки одне рівняння

Зазвичай, коли нам пропонується розв'язати систему рівнянь, то для цього доводиться використовувати або метод підстановки, або метод додавання, в крайньому випадку графічний метод. В будь-якому разі доводиться возитися з обома рівняннями, оскільки вони обидва пов'язані одне з одним. Однак, у збірнику Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад.: А.М.Капіносов [та ін.]. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2018 є цікаве завдання 12.41, де розв'язування системи ірраціональних рівнянь можна звести лише до одного рівняння.

Отже, ось воно, це завдання:

Починаємо з ОДЗ і встановлюємо, що $x\ge-7$ , а $y\ge 9$ . Що далі?

Звісно, далі можна підносити обидва рівняння системи до квадрата, позбуватися коренів і пробувати звести розв'язування до, наприклад, метода підстановки. Довго, складно, громіздко...

Однак, якщо уважно розглянути цю систему:

$\begin{cases}\sqrt{x+7}-\sqrt{y-9}=2\\\sqrt{y+7}-\sqrt{x-9}=2\\\end{cases}$

то нескладно помітити, що його перше і друге рівняння практично однакові! Якщо у першому рівнянні замінити $x$ на $y$ , а $y$ на $x$ , то ми отримаємо друге рівняння системи!

Це означає, що, насправді,... $x=y$ !

Значить, можна взяти одне з двох рівнянь, одну зі змінних замінити на іншу (вони ж однакові!) й розв'язувати тільки одне рівняння! Коли знайдемо значення цієї змінної, то це автоматично означатиме, що значення другої - таке саме!

От після того, як ми помітили таку особливість цієї системи - усе стає відносно легко:

$\begin{array}{l}\sqrt{x+7}-\sqrt{x-9}=2\\\sqrt{x+7}=2+\sqrt{x-9}\\(\sqrt{x+7})^2=(2+\sqrt{x-9})^2\\\cancel{x}+7=4+2\cdot2\cdot\sqrt{x-9}+\cancel{x}-9\\7=4+4\sqrt{x-9}-9\\4\sqrt{x-9}=7-4+9\\4\sqrt{x-9}=12\;|:4\\\sqrt{x-9}=3\\(\sqrt{x-9})^2=3^2\\x-9=9\\x=18\end{array}$

Ну й, з урахуванням вищезазначеного, $y=x=18$ (вони ж однакові!), до того ж обидва чудово вписуються в ОДЗ.

Перевірка:

$\begin{array}{l}\sqrt{18+7}-\sqrt{18-9}=2\\\sqrt{25}-\sqrt{9}=2\\5-3=2\\2=2\end{array}$

Усе. Рівність виконується. Розв'язок системи знайдено: $(18;18)$ .

P.S. Автори задачі "прикололися", вимагаючи записати у відповідь "найбільше зі значень $x_0$ або $y_0$ , де пара $(x_0;y_0)$ - розв'язок системи"? А й правда, яке ж з двох однакових чисел буде більшим? Проблемка!.. 🙃