MathBlog

Розв'язування зведених квадратних рівнянь найчастіше починають зі спроби використання теореми Вієта (якщо точніше, то теореми, оберненої до теореми Вієта). Однак, не всі зведені квадратні рівняння можуть мати такі коефіцієнти, що множники/доданки легко підібрати усно. В цьому разі раціональним буде не витрачати час на безуспішні спроби, а одразу перейти до розв'язування рівняння стандартним способом - через дискримінант. От тільки труднощів можна й не лякатися, оскільки для такого випадку існує простий спосіб, який не веде до дискримінанту. Спробуймо розв'язати таке рівняння:  . Ну як? Які числа помножити, щоб отримати 217? Ну ж бо, усно! 🤯 Так, проблемно! 😞 Якщо не зачіпати дискримінант, то є ще метод виділення повного квадрата. Ну, хай буде, можна спробувати: А тепер звернемо увагу ось на це місце отриманого рівняння:  . Усім видно тут різницю квадратів? От її й розпишемо за формулою: Замінимо  на  і продовжимо розв'язування: От тепер підставляємо отриман...

Ну не в прямому, звісно, сенсі "на шару", попотіти трохи доведеться, але в цілому, завдання, в якому міститься логарифм і тангенс, як правило, розв'язується досить легко. Потрібно тільки уважно до нього придивитися . Приклад 1 Обчислити значення виразу  . "Страшнючий" приклад, насправді, розв'язується взагалі усно і не потребує складних обчислень. Якщо пригледітися до того, за яким принципом утворюються підлогарифмені вирази, то побачимо, що там значення кутів послідовно набувають значень від 1 до 89. А отже, десь там у цьому ряду буде й кут 45°. Але ж  . А тоді й  . Ну, а коли один з множників добутку дорівнює нулю, тоді й увесь добуток дорівнює нулю. Отже,  . Приклад 2 Обчислити значення виразу  У цьому ряді теж з'явиться 45°, але на цей раз він "обнулить" не множник, що потягло б за собою "обнулення" усього добутку, а лише один доданок. Ну, добре, один з доданків цього ряду дорівнює нулю, а решта? Цей "жах" розв'язуєт...

А ось приклад громіздкого, на перший погляд, рівняння, яке стає простим, якщо дописати в нього те, чого там не було. Розв'яжемо таке рівняння: Очевидно, братися за цей приклад традиційними методами - страшнувато. Корені аж в трьох місцях та ще й вираз без коренів у правій частині плутається під ногами. Якщо підносити усе до квадрата, то отримаємо: Не додає оптимізму... І це тільки початок! Очевидно, якщо продовжувати далі в такому ж дусі - усе ставатиме тільки гірше. Що робити? А погляньмо уважно на вираз  у лівій частині рівняння! Звернімо увагу на те, що там спочатку стоїть сума виразів і , а потім їх же подвоєний добуток! А де нам зустрічалося щось схоже на це? Точно! Подвоєний добуток у нас з'являється у формулі квадрата суми чи квадрата різниці. От їх і використаємо! Оскільки перед подвоєним добутком у нашому виразі стоїть знак "плюс", то будемо думати про квадрат суми. Для повного "щастя", щоб остаточно перетворитися на квадрат суми, нашому подвоєно...