Не вистачає - допиши!

А ось приклад громіздкого, на перший погляд, рівняння, яке стає простим, якщо дописати в нього те, чого там не було.

Розв'яжемо таке рівняння:

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}=51-2x$

Очевидно, братися за цей приклад традиційними методами - страшнувато. Корені аж в трьох місцях та ще й вираз без коренів $51-2x$ у правій частині плутається під ногами. Якщо підносити усе до квадрата, то отримаємо:

$\begin{array}{l}\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}\right)^2=\left(51-2x\right)^2\\\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2-2\cdot 2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)+4(x+6)(x-1)=\\ =2601-204x+4x^2\\\ldots\end{array}$

Не додає оптимізму... І це тільки початок! Очевидно, якщо продовжувати далі в такому ж дусі - усе ставатиме тільки гірше. Що робити?

А погляньмо уважно на вираз $\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}$ у лівій частині рівняння! Звернімо увагу на те, що там спочатку стоїть сума виразів $\sqrt{x+6}$ і $\sqrt{x-1}$ , а потім їх же подвоєний добуток! А де нам зустрічалося щось схоже на це? Точно! Подвоєний добуток у нас з'являється у формулі квадрата суми чи квадрата різниці. От їх і використаємо!

Оскільки перед подвоєним добутком у нашому виразі стоїть знак "плюс", то будемо думати про квадрат суми. Для повного "щастя", щоб остаточно перетворитися на квадрат суми, нашому подвоєному добутку $2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}$ не вистачає ще суми квадратів. От їх і допишемо:

$(\sqrt{x+6})^2+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$

Стоп! Але ж таких доданків $(\sqrt{x+6})^2$ та $(\sqrt{x-1})^2$ у нашій умові й близько не було! Ми насильно їх туди "впихнули"! Отже, щоб значення виразу не змінилося, потрібно одразу ж їх і відняти. В результаті таких маніпуляцій наше рівняння набуває вигляду:

$\begin{array}{l}\left((\sqrt{x+6})^2+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2\right)-(\sqrt{x+6})^2-(\sqrt{x-1})^2+\\+\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=51-2x\end{array}$

Згорнемо вираз у перших дужках за формулою квадрата суми:

$\begin{array}{l}\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2-(\sqrt{x+6})^2-(\sqrt{x-1})^2+\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=51-2x\end{array}$

Тепер настав час розібратися з ОДЗ, щоб без зайвих застережень відкинути дужки і корені у $(\sqrt{x+6})^2$ і $(\sqrt{x-1})^2$ .

$\begin{cases}x+6\ge 0\\x-1\ge 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x\ge -6\\ x\ge 1\end{cases} \Rightarrow x\in[1;+\infty)$

Ну й тепер продовжуємо розв'язання:

$\begin{array}{l}\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2-(x+6)-(x-1)+\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=51-2x\\\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2-\cancel{x}-6-\cancel{x}+1+\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=51-\cancel{2x}\\\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2+\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=51+6-1\\(\underbrace{\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}}_t )^2+\underbrace{\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}}_t=56\end{array}$

Таким чином, незручний "зайвий" ікс у правій частині у нас взагалі зник, а після введення нової змінної $t=\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}$ отримуємо квадратне рівняння $t^2+t-56=0$ , що має корені $t_1=7;\ t_2=-8$ .

Підставляємо тепер ці корені назад в підстановку й намагаємося розв'язати ще два рівняння: $\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7$ та $\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=-8$ .

Очевидно, що друге рівняння не має розв'язків, оскільки сума квадратних коренів, а значить, сума двох додатних чисел не може дорівнювати від'ємному числу, тому зосередимося на розв'язуванні першого:

$\begin{array}{l}\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7\\\sqrt{x+6}=7-\sqrt{x-1}\\(\sqrt{x+6})^2=(7-\sqrt{x-1})^2\\\cancel{x}+6=49-14\sqrt{x-1}+\cancel{x}-1\\6-49+1=-14\sqrt{x-1}\\14\sqrt{x-1}=42\ \ |:14\\\sqrt{x-1}=3\\(\sqrt{x-1})^2=3^2\\x-1=9\\x=10\in[1;+\infty)\end{array}$

Перевірка:

$\begin{array}{l}\sqrt{10+6}+\sqrt{10-1}+2\sqrt{10+6}\sqrt{10-1}=51-2\cdot 10\\\sqrt{16}+\sqrt{9}+2\sqrt{16}\sqrt{9}=51-20\\4+3+2\cdot 4\cdot 3=31\\4+3+24=31\\31=31\end{array}$

Отже, відповідь: $x=10$