MathBlog

Ні-ні, до міфічних вовкулаків усе це не має жодного стосунку. Однак, перетворення одного на друге тут наявне. Мова йде про парочку виразів вигляду і , тобто, де основа степеня й підлогарифмений вираз міняються місцями і таким чином один вираз перетворюється на інший. Оскільки основа степеня, основа логарифма й підлогарифмений вираз різні, то виникає проблема: а як таке обчислити? Тож продовжуємо розмову про мої улюблені логарифми . Розглянемо такий приклад :  . До основної логарифмічної тотожності   ані зменшуване, ані від'ємник явно "не дотягують", тому що тут основа степеня й основа логарифма РІЗНІ. Однак, що називається, "зачепитися" за основну логарифмічну тотожність, щоб розв'язати цей приклад, цілком можна. Представимо за її допомогою основи степенів:   і  . А тепер замінимо основи степенів на нові вирази:  . Як відомо, при піднесенні степеня до степеня показники перемножуються:  . От саме це і зробимо, отримавши внаслідок таке:  . Як ...

Цікавий і багатий на несподіванки світ логарифмів! Ось один з випадків, в якому, на перший погляд, правильні перетворення, тим не менш, приводять до неправильного результату. А що сталося? Ось такий, величенький, але в цілому нескладний для перетворення вираз: , значення якого вимагається знайти. Якщо роздивитися вираз у дужках, то у зменшуваному побачимо основну логарифмічну тотожність  , що у нашому прикладі дорівнюватиме  , а у від'ємнику - необхідність представити основу логарифма 9 як   і "знести" показник степеню підлогарифменого виразу. Словом, І усе б то нічого, але біда в тому, що обчислення того ж прикладу на калькуляторі дає зовсім іншу відповідь: Як бачимо, не 256, а тільки 12. Що ж пішло не так? На цьому етапі розв'язування у середньостатистичного "борця з логарифмами" зазвичай настає стадія заперечення очевидного і починається перевірка умови, перерозв'язування прикладу ще раз, ще раз і ще раз, на іншому листочку, іншою, "розумнішою...

Ну не в прямому, звісно, сенсі "на шару", попотіти трохи доведеться, але в цілому, завдання, в якому міститься логарифм і тангенс, як правило, розв'язується досить легко. Потрібно тільки уважно до нього придивитися . Приклад 1 Обчислити значення виразу  . "Страшнючий" приклад, насправді, розв'язується взагалі усно і не потребує складних обчислень. Якщо пригледітися до того, за яким принципом утворюються підлогарифмені вирази, то побачимо, що там значення кутів послідовно набувають значень від 1 до 89. А отже, десь там у цьому ряду буде й кут 45°. Але ж  . А тоді й  . Ну, а коли один з множників добутку дорівнює нулю, тоді й увесь добуток дорівнює нулю. Отже,  . Приклад 2 Обчислити значення виразу  У цьому ряді теж з'явиться 45°, але на цей раз він "обнулить" не множник, що потягло б за собою "обнулення" усього добутку, а лише один доданок. Ну, добре, один з доданків цього ряду дорівнює нулю, а решта? Цей "жах" розв'язуєт...