Як бачиш логарифма і тангенса пару - завдання своє ти розв'яжеш "на шару"!

Ну не в прямому, звісно, сенсі "на шару", попотіти трохи доведеться, але в цілому, завдання, в якому міститься логарифм і тангенс, як правило, розв'язується досить легко. Потрібно тільки уважно до нього придивитися.

Приклад 1

Обчислити значення виразу $\lg\operatorname{tg}1^{\circ}\lg\operatorname{tg}2^{\circ}\lg\operatorname{tg}3^{\circ}\ldots\lg\operatorname{tg}88^{\circ}\lg\operatorname{tg}89^{\circ}$ .

"Страшнючий" приклад, насправді, розв'язується взагалі усно і не потребує складних обчислень. Якщо пригледітися до того, за яким принципом утворюються підлогарифмені вирази, то побачимо, що там значення кутів послідовно набувають значень від 1 до 89. А отже, десь там у цьому ряду буде й кут 45°. Але ж $\operatorname{tg}45^{\circ}=1$ . А тоді й $\lg\operatorname{tg}45^{\circ}=\lg1=0$ . Ну, а коли один з множників добутку дорівнює нулю, тоді й увесь добуток дорівнює нулю.

Отже, $\lg\operatorname{tg}1^{\circ}\lg\operatorname{tg}2^{\circ}\lg\operatorname{tg}3^{\circ}\ldots\lg\operatorname{tg}88^{\circ}\lg\operatorname{tg}89^{\circ}=0$ .

Приклад 2

Обчислити значення виразу $\lg\operatorname{tg}1^{\circ}+\lg\operatorname{tg}2^{\circ}+\lg\operatorname{tg}3^{\circ}+\ldots+\lg\operatorname{tg}88^{\circ}+\lg\operatorname{tg}89^{\circ}$

У цьому ряді теж з'явиться 45°, але на цей раз він "обнулить" не множник, що потягло б за собою "обнулення" усього добутку, а лише один доданок. Ну, добре, один з доданків цього ряду дорівнює нулю, а решта?

Цей "жах" розв'язується досить нескладно, якщо помітити, що значення кутів у першому й останньому, другому й передостанньому і т.д. доданках утворюють однакові суми, а саме 90°. От цим і скористаємось.

Розглянемо суму першого й останнього доданків: $\lg\operatorname{tg}1^{\circ}+\lg\operatorname{tg}89^{\circ}$ . Оскільки бачимо там суму логарифмів, то згадуємо, що, згідно з властивостями логарифмів, їх сума - це логарифм добутку, а тому й переписуємо нашу суму у вигляді логарифма добутку: $\lg\operatorname{tg}1^{\circ}+\lg\operatorname{tg}89^{\circ}=\lg(\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}89^{\circ})$ .

Щоб обчислити добуток тангенсів, потрібно знати відповідну тригонометричну формулу:

$\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta=1-\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Якщо вона вам не відома, то цей добуток легко обчислити, пригадавши, що тангенс - це синус, ділений на косинус, а, значить,

$\begin{array}{l}\displaystyle\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)}{\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right)}=\\=\displaystyle\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}\end{array}$

В будь-якому разі, підставивши 1° і 89° в обох випадках отримаємо результат, який дорівнює 1. Ну й, відповідно, логарифм від одиниці рівний нулю.

Оскільки суми другого й передостаннього, третього й передпередостаннього і т.д. доданків дадуть такі ж результати і середній доданок з кутом 45°, про який ішлося вище, теж принесе нам нуль, то отримаємо суму, в якій усі доданки дорівнюватимуть нулю, а, отже,

$\lg\operatorname{tg}1^{\circ}+\lg\operatorname{tg}2^{\circ}+\lg\operatorname{tg}3^{\circ}+\ldots+\lg\operatorname{tg}88^{\circ}+\lg\operatorname{tg}89^{\circ}=0$ .

Як бачимо, нескладно. Потрібно тільки бути спостережливим.