Логарифмічні перевертні

Ні-ні, до міфічних вовкулаків усе це не має жодного стосунку. Однак, перетворення одного на друге тут наявне. Мова йде про парочку виразів вигляду $a^{\log_bc}$ і $c^{\log_ba}$ , тобто, де основа степеня й підлогарифмений вираз міняються місцями і таким чином один вираз перетворюється на інший. Оскільки основа степеня, основа логарифма й підлогарифмений вираз різні, то виникає проблема: а як таке обчислити? Тож продовжуємо розмову про мої улюблені логарифми.

Розглянемо такий приклад: $5^{\log_43}-3^{\log_45}$ . До основної логарифмічної тотожності $a^{\log_ab}=b$ ані зменшуване, ані від'ємник явно "не дотягують", тому що тут основа степеня й основа логарифма РІЗНІ. Однак, що називається, "зачепитися" за основну логарифмічну тотожність, щоб розв'язати цей приклад, цілком можна. Представимо за її допомогою основи степенів: $5=4^{\log_45}$ і $3=4^{\log_43}$ . А тепер замінимо основи степенів на нові вирази: $5^{\log_43}-3^{\log_45}=\left(4^{\log_45}\right)^{\log_43}-\left(4^{\log_43}\right)^{\log_45}$ . Як відомо, при піднесенні степеня до степеня показники перемножуються: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$ . От саме це і зробимо, отримавши внаслідок таке: $4^{\log_45\cdot\log_43}-4^{\log_43\cdot\log_45}$ . Як бачимо, у нас і основи степенів рівні, і їх показники теж: $\log_45\cdot\log_43=\log_43\cdot\log_45$ , а це значить, що і результати піднесення рівних основ до рівних степенів теж рівні, тому $4^{\log_45\cdot\log_43}-4^{\log_43\cdot\log_45}=0$ .

Ну от і все, приклад розв'язано: $5^{\log_43}-3^{\log_45}=0$ .

Розглянемо інший приклад: $7^{\log_65}-5^{\log_67}$ .

На цей раз не будемо мудрувати з основною логарифмічною тотожністю, а використаємо готову формулу, хоча її і не вивчають у школі:

$\log_ab=\log_cb\cdot\log_ac$

Застосуємо цю формулу до зменшуваного $7^{\log_65}$ і перетворимо за її допомогою показник степеня $\log_65$ . Отримаємо: $\log_65=\log_75\cdot\log_67$ .

А тепер підставимо усе отримане в наш приклад:

$\begin{array} {l}\displaystyle7^{\log_65}-5^{\log_67}=7^{\log_75\cdot\log_67}-5^{\log_67}=\left(\underbrace{7^{\log_75}}_5\right)^{\log_67}-5^{\log_67}=\\=\displaystyle5^{\log_67}-5^{\log_67}=0\end{array}$

❓ Ось уже другий приклад, в якому основа степеня й підлогарифмений вираз міняються місцями, а результат усе одно дорівнює нулю. Що відбувається? Невже усі такі пари виразів рівні?

А, виявляється, насправді, так воно і є: $\boldsymbol{a^{\log_bc}}=a^{\log_ac\cdot\log_ba}=\left(a^{\log_ac}\right)^{\log_ab}=\boldsymbol{c^{\log_ab}}$ .

Отже, маємо ще одну логарифмічну формулу, яка стосується таких собі логарифмічних перевертнів:

$\displaystyle a^{\log_bc}=c^{\log_ab}$

...тому ☝ у всіх прикладах такого типу, які було розглянуто, результат буде завжди один і той самий: 0.