Як винесенням степеня "винести" собі мозок

Цікавий і багатий на несподіванки світ логарифмів! Ось один з випадків, в якому, на перший погляд, правильні перетворення, тим не менш, приводять до неправильного результату. А що сталося?

Ось такий, величенький, але в цілому нескладний для перетворення вираз:

$\displaystyle\left(5^{\log_5(\sqrt{3}+8)}-3^{\log_9(\sqrt{3}-8)^2}\right)^2$ ,

значення якого вимагається знайти. Якщо роздивитися вираз у дужках, то у зменшуваному побачимо основну логарифмічну тотожність $a^{\log_a b}=b$ , що у нашому прикладі дорівнюватиме $5^{\log_5(\sqrt{3}+8)}=\sqrt{3}+8$ , а у від'ємнику - необхідність представити основу логарифма 9 як $3^2$ і "знести" показник степеню підлогарифменого виразу. Словом,

$\begin{array}{l}\displaystyle\left(5^{\log_5(\sqrt{3}+8)}-3^{\log_9(\sqrt{3}-8)^2}\right)^2=\left(\sqrt{3}+8-3^{\log_{3^2}(\sqrt{3}-8)^2}\right)^2=\left(\sqrt{3}+8-3^{\frac{2}{2}\log_3(\sqrt{3}-8)}\right)^2=\\=\left(\sqrt{3}+8-3^{\log_3(\sqrt{3}-8)}\right)^2=\left(\sqrt{3}+8-(\sqrt{3}-8)\right)^2=\left(\cancel{\sqrt{3}}+8-\cancel{\sqrt{3}}+8\right)^2=16^2=256\end{array}$

І усе б то нічого, але біда в тому, що обчислення того ж прикладу на калькуляторі дає зовсім іншу відповідь:

Як бачимо, не 256, а тільки 12. Що ж пішло не так?

На цьому етапі розв'язування у середньостатистичного "борця з логарифмами" зазвичай настає стадія заперечення очевидного і починається перевірка умови, перерозв'язування прикладу ще раз, ще раз і ще раз, на іншому листочку, іншою, "розумнішою" ручкою, обчислення того самого на другому, третьому, ..., n-му калькуляторі допоки в голову не приходить, нарешті, рятівне "то помилка в задачнику" (ну а як же без цього, сам такий! 😃). От тільки проблему усе це так і не вирішує: відповіді не спів-па-да-ють!

А "винним" в усьому є "квадрат" при підлогарифменому виразі другого логарифму:

$3^{\log_9(\sqrt{3}-8)^{\color{red}\boldsymbol 2}}$

Поки він стояв собі на своєму місці, то робив підлогарифмений вираз $\sqrt{3}-8$ додатним, але як тільки ми його винесли попереду логарифма - усе: логарифм перестав існувати, бо його підлогарифмений вираз став менше нуля: $\sqrt{3}-8\approx-6,27$ . Ось у цьому собака й зарита! Як тільки ми це врахуємо і після винесення "квадрата" підлогарифмений вираз візьмемо по модулю, записавши не $\sqrt{3}-8$ , а $8-\sqrt{3}$ , то усі "чудеса" закінчаться і ми отримаємо правильну відповідь:

$\begin{array}{l}\displaystyle\left(5^{\log_5(\sqrt{3}+8)}-3^{\log_9(\sqrt{3}-8)^2}\right)^2=\left(\sqrt{3}+8-3^{\log_{3^2}(\sqrt{3}-8)^2}\right)^2=\left(\sqrt{3}+8-3^{\frac{2}{2}\log_3|\sqrt{3}-8|}\right)^2=\\=\left(\sqrt{3}+8-3^{\log_3(8-\sqrt{3})}\right)^2=\left(\sqrt{3}+8-(8-\sqrt{3})\right)^2=\left(\sqrt{3}+\cancel{8}-\cancel{8}+\sqrt{3}\right)^2=(2\sqrt{3})^2=\\=4\cdot 3=12\end{array}$

Мораль: прибираючи парні степені з підлогарифмених виразів, стежте, щоб через це перетворення не зробити ці вирази від'ємними. Ну, а раптом що - модуль вам у поміч!