Якщо теорема Вієта "не по зубах"

Розв'язування зведених квадратних рівнянь найчастіше починають зі спроби використання теореми Вієта (якщо точніше, то теореми, оберненої до теореми Вієта). Однак, не всі зведені квадратні рівняння можуть мати такі коефіцієнти, що множники/доданки легко підібрати усно. В цьому разі раціональним буде не витрачати час на безуспішні спроби, а одразу перейти до розв'язування рівняння стандартним способом - через дискримінант. От тільки труднощів можна й не лякатися, оскільки для такого випадку існує простий спосіб, який не веде до дискримінанту.

Спробуймо розв'язати таке рівняння: $x^2-38x+217=0$ . Ну як? Які числа помножити, щоб отримати 217? Ну ж бо, усно! 🤯 Так, проблемно! 😞

Якщо не зачіпати дискримінант, то є ще метод виділення повного квадрата. Ну, хай буде, можна спробувати:

$\begin{array}{l}x^2-38x+217=0\\x^2-2\cdot 19\cdot x+217=0\\\underbrace{x^2-2\cdot 19\cdot x+19^2}_{(x-19)^2}-19^2+217=0\\(x-19)^2-19^2+217=0\end{array}$

А тепер звернемо увагу ось на це місце отриманого рівняння: $(x-19)^2-19^2$ . Усім видно тут різницю квадратів? От її й розпишемо за формулою:

$\begin{array}{l}(x-19)^2-19^2+217=0\\((\underbrace{x-19}_y)+19)((\underbrace{x-19}_y)-19)+217=0\\\end{array}$

Замінимо $x-19$ на $y$ і продовжимо розв'язування:

$\begin{array}{l}((\underbrace{x-19}_y)+19)((\underbrace{x-19}_y)-19)+217=0\\(y+19)(y-19)=-217\\(19+y)(19-y)=217\\19^2-y^2=217\\y^2=19^2-217\\y^2=361-217\\y^2=144\\y=\sqrt{144}=12\end{array}$

От тепер підставляємо отримане число $12$ замість $y$ :

$\begin{array}{l}(19+y)(19-y)=217\\(19+12)(19-12)=217\\31\cdot 7=217\end{array}$

Результат множення правильний! До того ж цей добуток дорівнює третьому коефіцієнту розв'язуваного квадратного рівняння! Як і написано в теоремі Вієта. А сума цих же чисел $31+7$ якраз дорівнює другому коефіцієнту нашого рівняння, узятому з протилежним знаком! Отже, числа $31$ і $7$ є шуканими коренями. Рівняння розв'язане!

Між іншим: від'ємне значення квадратного кореня можна не розглядати. Підстановка від'ємного значення $y$ просто обміняє місцями значення обох отриманих множників та й усе!

Отже, якщо коефіцієнти зведеного квадратного рівняння досить великі й підібрати корені за теоремою, оберненою до теореми Вієта, є проблемним, то далі діємо так:

Ділимо другий коефіцієнт рівняння на 2.
З отриманого числа і допоміжної змінної $y$ утворюємо різницю квадратів і прирівнюємо її до третього коефіцієнта рівняння.
Розв'язуємо нове рівняння відносно змінної $y$ .
Обчислюємо значення множників у дужках - це і є корені розв'язуваного зведеного квадратного рівняння.

Приклад:

$\begin{array}{l}x^2+88x-1095=0\\88:2=44\\(44-y)(44+y)=1095\\44^2-y^2=1095\\y^2=1936-1095\\y^2=841\\y=\sqrt{841}=29\\(44-29)(44+29)=1095\\15\cdot 73=1095\end{array}$

Отже, корені рівняння $15$ і $73$ .

Цей же спосіб можна використовувати й для рівнянь з непарним другим коефіцієнтом:

Приклад:

$\begin{array}{l}x^2-29x+208=0\\29:2=14,5\\(14,5-y)(14,5+y)=208\\14,5^2-y^2=208\\y^2=210,25-208\\y^2=2,25\\y=\sqrt{2,25}=1,5\\(14,5-1,5)(14,5+1,5)=208\\13\cdot 16=208\end{array}$

Відповідь: $13$ і $16$ .

P.S. Вдячність за ідею OlenaMathHelp