Рівняння розв'язалося зненацька

Продовжуємо розв'язувати ірраціональні рівняння зі збірника завдань для підготовки до ЗНО і ДПА А.М.Капіносова. На цей раз розглянемо цікаве рівняння №12.44 (Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад.: А.М.Капіносов [та ін.]. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2018.).

Розв'яжемо рівняння $\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}=0$ .

Почнемо з ОДЗ: $\begin{array}{l}x+3\ge 0\\x\ge -3\\x\in [-3;+\infty)\end{array}$

Тепер застосуємо традиційний спосіб розв'язування: перенесемо $\sqrt{x+3}$ в праву частину і піднесемо обидві частини до степеня. Оскільки маємо корені третього і другого степенів, то підносити будемо до степеня 6 (НСК чисел 2 і 3), щоб можна було скоротити показники степенів і коренів.

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}=0\\\sqrt[3]{x+7}=\sqrt{x+3}\\(\sqrt[3]{x+7})^6=(\sqrt{x+3})^6\\(x+7)^2=(x+3)^3\end{array}$

Що далі? Розкривати дужки у лівій і правій частинах? Щоб що? Щоб отримати повне рівняння третього степеня $x^2+14x+49=x^3+9x^2+27x+27$ ? А далі? 😕

💡 А придивимось-но до останнього рядка: $(x+7)^2=(x+3)^3$ ! Чи є таке число, яке можна було б представити і у вигляді квадрата, і у вигляді куба? Так, є! Це число 64, адже $64=8^2$ і $64=4^3$ . Тоді виходить, що:

$\begin{array}{l}\underbrace{(x+7)^2}_{64}=\underbrace{(x+3)^3}_{64}\\(\underbrace{x+7}_8)^2=(\underbrace{x+3}_4)^3\\\begin{array}{ll}x+7=8 & x+3=4\\x=1 & x=1\end{array}\end{array}$

Оскільки $x=1\in[-3;+\infty)$ , то, очевидно, це число і є розв'язком рівняння.

Дійсно, перевірка показує, що $\sqrt[3]{1+7}-\sqrt{x+3}=\sqrt[3]{8}-\sqrt{4}=2-2=0$ .

Ось так, у самий "розпал" розв'язування рівняння ми несподівано отримали його корінь.