Розглянемо
ще одну задачу, для розв'язування якої потрібно буде використати великий обсяг знань з усього розділу "Декартові коордиинати". На цей раз - задача про коло, яке перетинає деяка пряма.
Точка )
є центром кола, а точка )
лежить на цьому колові. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку )
паралельно прямій 
. Скільки точок перетину має ця пряма з колом?
Розв'язання:
1) За координатами центру кола і точки, яка належить колові, складаємо рівняння прямої 
, яка проходить через ці точки:
\\\displaystyle&space;y_1=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\end{array})
2) Тепер можемо скласти рівняння прямої 
, що проходить через точку . За умовою задачі прямі та паралельні. Це означає, що у них однакові кутові коефіцієнти, тому пряма матиме вигляд 
. Підставляюючи у цей вираз координати точки довизначимо значення коефіцієнта 
:
Отже, рівняння другої прямої має вигляд 
3) Складемо рівняння кола. Спочатку обчислюємо його радіус:
^2+(5-2)^2=16+9=25)
Рівняння кола: ^2+(y-2)^2=25)
.
4) Тепер можемо визначити, чи перетинає пряма дане коло. Для цього розв'яжемо систему рівнянь:
^2+(y-2)^2=25\\\displaystyle&space;y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}\end{cases}\\\\\displaystyle(x-3)^2+\left(\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}-2\right)^2=25\\\\\displaystyle(x-3)^2+\left(\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\right)^2=25\\\\\displaystyle&space;x^2-6x+9+\frac{9}{16}x^2+2\cdot\frac{3}{4}x\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=25\\\\\displaystyle&space;x^2-6x+9+\frac{9}{16}x^2+\frac{9}{4}x+\frac{9}{4}-25=0\\\\\displaystyle\frac{25}{16}x^2-\frac{15}{4}x-\frac{55}{4}=0\;|\cdot&space;16\\\\25x^2-60x-220=0\;|:5\\5x^2-12x-44=0\\D=(-12)^2-4\cdot&space;5\cdot(-44)=1024\\\begin{array}{ll}\displaystyle&space;x_1=\frac{12+32}{10}=4,4&\displaystyle&space;x_2=\frac{12-32}{10}=-2\\\displaystyle&space;y_1=\frac{3}{4}\cdot&space;4,4+\frac{7}{2}=6,8&\displaystyle&space;y_2=\frac{3}{4}\cdot(-2)+\frac{7}{2}=2\end{array}\end{array})
Отже, як бачимо, пряма перетинає дане коло у двох точках: )
і )
.
