Повторюємо декартові координати. Задача про площу трикутника

Трапляються такі задачі, для розв'язування яких доводиться використати весь (ну, або майже весь) матеріал шкільного курсу математики з певного розділу. От такі задачі будемо називати "комплексними" і ось одна з таких задач.

Обчислити площу рівнобедреного $\triangle ABC$ ( $AB=BC$ ) з вершинами $A(-4;-2)$ і $B(-3;4)$ , якщо його медіана, проведена до основи, лежить на прямій $7x+5y+1=0$ .

Для того, щоб обчислити площу трикутника, нам би знати його основу й висоту (тоді зможемо використати стандартну формулу $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$ ), усі три сторони (для формули Герона) або ще можна обчислити площу $\triangle ABM$ і отриманий результат помножити на 2.

В кожному з цих трьох способів нам знадобляться координати точок або М, або С, або їх обох. Тож і розпочнемо розв'язування задачі з отримання координат точки М, яка за умовою задачі є основою медіани, проведеної до основи рівнобедреного трикутника.

Але ж медіана ВМ, проведена до основи АС рівнобедреного трикутника, як відомо, є ще й його висотою! Тому прямі АС і BM - перпендикулярні. Ми знаємо рівняння прямої BM і координати точки А, яка лежить на прямій АС. Отже, можемо скласти рівняння прямої АС.

Оскільки прямі перпендикулярні, то кутовий коефіцієнт прямої АС є оберненим і протилежним до кутового коефіцієнта прямої ВМ.

Знаходимо кутовий коефіцієнт (коефіцієнт при х) прямої ВМ:

$\begin{array}{l}7x+5y+1=0\\5y=-7x-1\;|:5\\\displaystyle y_{BM}=-\frac{7}{5}x-\frac{1}{5}\end{array}$

Отже, кутовий коефіцієнт прямої BM дорівнює $\displaystyle-\frac{7}{5}$ , значить кутовий коефіцієнт прямої АС дорівнює $\displaystyle \frac{5}{7}$ . Тепер можемо остаточно скласти рівняння прямої AC: $\displaystyle y_{AC}=\frac{5}{7}x+m$ . Замість x та y підставимо координати точки А, через яку проходить пряма АС, і отримаємо:

$\begin{array}{l}\displaystyle y=\frac{5}{7}x+m\\\displaystyle-2=\frac{5}{7}\cdot(-4)+m\\\displaystyle m=-2-\frac{5}{7}\cdot(-4)=\frac{6}{7}\end{array}$

Таким чином, рівняння прямої AC має вигляд $\displaystyle y=\frac{5}{7}x+\frac{6}{7}$ .

Тепер нескладно буде обчислити координати точки М, оскільки вона є точкою перетину прямих АС і ВМ. Для цього складемо рівняння обох прямих у систему і розв'яжемо її:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\displaystyle y=-\frac{7}{5}x-\frac{1}{5}\\\displaystyle y=\frac{5}{7}x+\frac{6}{7}\end{cases}\\\displaystyle-\frac{7^{(7}}{5}x-\frac{1^{(7}}{5}=\frac{5^{(5}}{7}x+\frac{6^{(5}}{7}|\cdot 35\\-49x-7=25x+30\\-49x-25x=30+7\\-74x=37\\x=-0,5\\\displaystyle y=\frac{5}{7}\cdot(-0,5)+\frac{6}{7}=0,5\\M(-0,5;0,5)\end{array}$

Усі труднощі позаду! Залишилося використати формули координат середини відрізка $\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}$ та $\displaystyle y=\frac{y_1+y_2}{2}$ й обчислити координати точки С (точки А і С - кінці відрізка АС, а точка М - його середина):

$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{-4+x}{2}=-0,5&\displaystyle\frac{-2+y}{2}=0,5\\-4+x=-1&-2+y=1\\x=-1-(-4)=3&y=1-(-2)=3\\M(3;3)\end{array}$

Тепер за формулою відстані між двома точками $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_2)^2}$ обчислимо довжину сторони АС: $AC=\sqrt{(3+4)^2+(3+2)^2}=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{74}$ (І отриманий результат, до речі, одразу ж ставить жирний хрест на використанні формули Герона для обчислення площі трикутника).

Залишається за тою ж таки формулою відстані між двома точками обчислити довжину відрізка ВМ:

$\begin{array}{l}\displaystyle BM=\sqrt{(-3+0,5)^2+(4-0,5)^2}=\sqrt{(-2,5)^2+(3,5)^2}=\\\displaystyle=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{74}{4}}=\frac{\sqrt{74}}{2}\end{array}$

Підставляємо отримані значення у формулу площі трикутника й отримуємо:

$\begin{array}{l}\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{74}\cdot\frac{\sqrt{74}}{2}=\frac{74}{4}=18,5\end{array}$

Відповідь: площа трикутника 18,5 кв.од.