Дещо про геометричний "дискримінант"

Виявляється, серед усіх типів геометричних задач на розв'язування трикутників є такий, що може мати один, два розв'язки, або не мати розв'язків узагалі. Отже, поговоримо про те, який це тип задач, і в який спосіб можна з'ясувати, скільки ж розв'язків може мати така геометрична задача.

Мова йде про випадок, коли для розв'язування нам дали трикутник, у якого відомі дві сторони і кут проти меншої з них.

Що з такими задачами може бути не так? А ось що. Спробуйте намалювати $\triangle ABC$ зі сторонами $AB=3$ , $BC=8$ і $\angle ACB=50^{\circ}$ . Ні, насправді! От візьміть лінійку, транспортир і побудуйте! Що вийшло?

Упс! А що сталося? А де, власне, трикутник? Виявляється, що трикутник з такими сторонами і таким кутом існувати просто не може! Його найменша сторона настільки "найменша", що "не дотягується" до третьої вершини трикутника!

Але це ми зараз такі "розумні", бо намалювали трикутник практично, а якби ми його не малювали, а просто схематично накреслили, як робимо це завжди, і почали розв'язувати цю задачу?

Тоді б ми почали з застосування теореми синусів до пар: сторона $AB$ і $\angle C$ та сторона $BC$ з кутом $\angle A$ :

$\displaystyle\frac{3}{\sin 50^{\circ}}=\frac{8}{\sin\angle A}\Rightarrow\sin\angle A=\frac{8\cdot\sin50^{\circ}}{3}\approx2,04(???)$

Бачимо, як математика сама повідомляє нам про помилку, адже синус кута НЕ МОЖЕ дорівнювати 2,04, оскільки значення синуса узагалі не може бути більшим за 1!

І якщо у цьому випадку завдяки "дикому" значення синуса ми можемо хоча б запідозрити, що з цією задачею щось не так, то у наступному прикладі ми розв'яжемо собі задачу й ні про що навіть і не здогадаємося!

Виглядає як проста задачка. Починаємо з теореми синусів: $\displaystyle\frac{5,5}{\sin 40^{\circ}}=\frac{7,5}{\sin\alpha}\ldots$ і т.д.

І лише найуважніші й найспостережливіші помітять, що трикутників, які відповідають умові цієї задачі, насправді тут ДВА!

І у великому трикутнику є сторона 7,5, сторона 5,5 і кут навпроти неї 40°, і у маленькому жовтому трикутнику є ті самі компоненти, тієї самої довжини й з такою ж градусною мірою! Усе залежить від того, в який бік провести меншу сторону!

От тепер ми й підійшли до головного питання: "Що робити?" Як уникнути помилок? Як не почати розв'язувати трикутник, якого не існує, і як не загубити другий трикутник, якщо відповідно до умови задачі їх таких може існувати два?

Відповідь насправді проста. Для того, щоб розпізнати існування/неіснування трикутника, потрібно усього-на-всього обчислити його висоту, проведену з вершини, спільної для двох даних в умові сторін, на третю. Оскільки висота проводиться під кутом 90°, то вона розділятиме наш основний трикутник на два прямокутних, в обох з яких буде катетом, а дані в умові задачі сторони - гіпотенузами цих прямокутних трикутників.

Тоді в трикутнику, якого не існує, ця висота буде більшою за меншу сторону (а катет не може бути більшим за гіпотенузу!):

...а в трикутнику, який існує - меншою (катет якраз менший за гіпотенузу - усе правильно!):

Як цю висоту-катет обчислити? В обох наведених прикладах трикутники, які праворуч ( $\triangle BDC$ і $\triangle BKC$ ) - прямокутні, а значить наші висоти в них обох є катетами, протилежними до кута $C$ . Таким чином, у першому трикутнику маємо: $BD=8\cdot\sin50^{\circ}\approx6,1$ , а в другому - $BK=7,5\cdot\sin40^{\circ}\approx4,8$ .

Ось і дійшли ми до нашого "дискримінанта" задач на розв'язування трикутників, який тут виконує ту ж функцію, що й у формулі коренів квадратного рівняння - допомагає розрізняти, яка задача має два розв'язки, яка один, а яка - жодного.

Отже,

Щоб перевірити, скільки розв'язків має задача на розв'язування трикутників, якщо дано дві сторони і кут проти меншої з них, потрібно:

Більшу з даних сторін помножити на синус даного кута.
Порівняти отриманий результат з меншою стороною:

Якщо результат менший за меншу сторону - задача має два розв'язки, трикутників з такими вимірами існує два.
Якщо результат більший за меншу сторону - задача не має розв'язків, трикутник з такими вимірами не існує.
Якщо результат дорівнює меншій стороні - задача має один розв'язок і наш трикутник прямокутний, в якому більша сторона є гіпотенузою, а менша - катетом, протилежним до даного в умові кута (а це значить, що теорему синусів і теорему косинусів можна не чіпати і розв'язувати задачу, використовуючи теорему Піфагора і співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника).

Якщо наш "дискримінант" показує, що розв'язків буде два, то очевидно, що з пошуком першого ніяких проблем немає:

За теоремою синусів: $\displaystyle\frac{5,5}{\sin40^{\circ}}=\frac{7,5}{\sin\angle A}\Rightarrow\sin\angle A=\frac{7,5\cdot\sin40^{\circ}}{5,5}\approx0,8765$ .
Звідси $\angle A=61^{\circ}13'$ .

Знаючи градусні міри двох кутів тепер нескладно вирахувати третій:

$\angle B=180^{\circ}-40^{\circ}-61^{\circ}13'=78^{\circ}47'$

Ну й застосувавши ту ж таки теорему синусів обчислимо третю сторону трикутника:

$\displaystyle\frac{5,5}{\sin40^{\circ}}=\frac{AC}{\sin78^{\circ}47'}\Rightarrow AC=\frac{5,5\cdot\sin78^{\circ}47'}{\sin40^{\circ}}\approx8,4$

Все! Перший трикутник обчислено, перший розв'язок задачі знайдено. Як тепер дістатися до другого?

А погляньмо-но ще раз на цей малюнок:

Зверніть увагу, як "повернута" менша сторона нашого великого трикутника утворює рівнобедрений трикутник $ABD$ з бічними сторонами 5,5. От за нього й зачепимося!

Оскільки у рівнобедреного трикутника кути при основі (у нашому випадку це сторона $AD$ ) однакові й $\angle A$ нам уже відомий, то $\angle D$ ми теж, виходить, знаємо: $\angle BAD=\angle BDA=61^{\circ}13'$

Тепер вже можемо обчислити $\angle BDC$ . Він є суміжним до $\angle BDA$ , а значить дорівнює $180^{\circ}-61^{\circ}13'=118^{\circ}47'$ .

Все. На великий трикутник можемо більше не звертати уваги й зосередитися на $\triangle BDC$ :

За двома кутами трикутника обчислюємо третій: $\angle DBC=180^{\circ}-40^{\circ}-118^{\circ}47'=21^{\circ}13'$

Ну й, нарешті, за теоремою синусів: $\displaystyle\frac{5,5}{\sin40^{\circ}}=\frac{CD}{\sin 21^{\circ}13'}\Rightarrow CD=\frac{5,5\cdot\sin 21^{\circ}13'}{\sin 40^{\circ}}\approx3,1$ .

Готово. Задача повністю розв'язана. Сторони і кути обох трикутників обчислені.