Обчислення значень тригонометричних функцій від аркфункцій

Щось таке, на перший погляд, незрозуміле винесене в заголовок, означає просто обчислення значень виразів типу sin(arccos x) і їм подібних. От про це й поговоримо.

Зрозуміло, що найпростішим варіантом обчислення значень тригонометричних функцій від аркфункцій є випадки типу $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin(\arcsin x)$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos(\arccos x)$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$ та $https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} x)$ . Тут і думати нема про що: оскільки у виразі присутня функція від оберненої до неї функції, то результат дорівнює аргументу, тобто, наприклад, $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin(\arcsin x)=x$ і т.д. Наприклад, $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\left(\arcsin \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ . Чому? Та тому, що $https://latex.codecogs.com/svg.image?\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$ , а вже, в свою чергу, $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\frac{\pi}{6}$ знову дорівнює $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{2}$ .

Для складніших випадків, коли потрібно обчислити значення функції від функції, оберненої до іншої, такий "фокус" не проходить, але цей факт запам'ятаємо, оскільки саме його й будемо використовувати.

Суть способу обчислення значень виразів типу $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin(\arccos x)$ полягає у тому, щоб шляхом застосування відповідних тригонометричних формул замінити обчислення функції на функцію, обернену до аркфунції, а потім застосувати вже розглянутий вище випадок обчислення значення функції від протилежної їй аркфункції.

Нічого не зрозуміло? Тоді на прикладі...

Щоб обчислити значення виразу типу $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin(\arccos x)$ , шляхом застосування тригонометричних формул змінимо синус на косинус, щоб мати $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos(\arccos x)$ , ну а потім уже обчислимо косинус від арккосинуса.

Давайте спробуємо. Щоб арккосинус не плутався у нас під ногами, позначимо $https://latex.codecogs.com/svg.image?\arccos x=\alpha$ і далі працюватимемо не з виразом $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin(\arccos x)$ , а з виразом $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\alpha$ . Оскільки $https://latex.codecogs.com/svg.image?\alpha$ містить арккосинус, то, значить, синус потрібно виражати через косинус. Це легко досягається шляхом застосування основної тригонометричної тотожності $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\\\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\end{array}$

Повернувши тепер назад $https://latex.codecogs.com/svg.image?\arccos x$ на місце $https://latex.codecogs.com/svg.image?\alpha$ , отримуємо:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2({\arccos x})}=\sqrt{1-(\underbrace{\cos(\arccos x)}_{x})^2}=\sqrt{1-x^2}$

Отже, $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Розглянемо ще декілька прикладів.

Приклад 1: Обчислити значення виразу $https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$ .

Тимчасово замінимо $https://latex.codecogs.com/svg.image?\arcsin\frac{4}{5}=\alpha$ і, оскільки аркфункція містить синус, то виразимо тангенс через синус: $https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

Нам не треба, щоб у знаменнику був косинус, ми повинні отримати вираз, який містить тільки синуси, тому за допомогою основної тригонометричної тотожності замінимо і його:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

От тепер повертаємо назад наш арксинус і завершуємо обчислення:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\displaystyle\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)=\frac{\displaystyle\sin\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)}{\displaystyle\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)}}=\frac{\displaystyle\frac{4}{5}}{\displaystyle\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}}=\frac{\displaystyle\frac{4}{5}}{\displaystyle\sqrt{1^{\setminus^{25}}-\frac{16}{25}}}=\\\\\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{4}{5}}{\displaystyle\sqrt{\frac{25-16}{25}}}=\frac{\displaystyle\frac{4}{5}}{\displaystyle\sqrt{\frac{9}{25}}}=\frac{\displaystyle\frac{4}{5}}{\displaystyle\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{\cancel{5}}\cdot\frac{\cancel{5}}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\end{array}$

Приклад 2: Обчислити значення виразу $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$ .

Приклад такий же нескладний, як і попередньо розглянуті, але містить "мінус" в аргументі. Позбудемося його. Оскільки $https://latex.codecogs.com/svg.image?\arcsin(-\alpha)=-\arcsin\alpha$ , а $https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ , то, відповідно:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)=\cos\left(-\arcsin\frac{3}{5}\right)=\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)$

От тепер проводимо необхідні перетворення: $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\arcsin\frac{3}{5}=\alpha$ , а $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ і повертаємо усе назад:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{c}\displaystyle\cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\frac{3}{5}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\\\\\displaystyle =\sqrt{1^{\setminus^{25}}-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\end{array}$

Приклад 3: Обчислити значення виразу $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \cos\left(2\arcsin\frac{1}{6}\right)$

Після заміни $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\arcsin\frac{1}{6}=\alpha$ бачимо, що повозитися доведеться з формулою косинуса подвоєного аргумента $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ . Якщо з другою частиною формули проблем немає (там синус, а саме він нам і потрібен!), то, що робити з першою частиною, як виразити косинус через синус, ми уже знаємо: $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ .

Отже, беремося за обчислення:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\displaystyle\cos\left(2\arcsin\frac{1}{6}\right)=\cos^2\left(\arcsin\frac{1}{6}\right)-\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{6}\right)=\\\\\displaystyle=1-\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{6}\right)-\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{6}\right)=1-2\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{6}\right)=\\\\\displaystyle=1-2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2=1-\cancel{2}\cdot\frac{1}{\cancel{36}_{18}}=1^{\setminus^{18}}-\frac{1}{18}=\frac{18-1}{18}=\frac{17}{18}\end{array}$

Приклад 4: Обчислити $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\operatorname{tg}\left(-\frac{1}{2}\arcsin0,6\right)$ .

Після "технічної" заміни $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\arcsin0,6=\alpha$ бачимо, що доведеться мати справу з тангенсом половинного кута $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\operatorname{tg}\left(-\frac{1}{2}\alpha\right)=-\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$ . От нею і скористаймося: $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}$ .

Отже,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\displaystyle\operatorname{tg}\left(-\frac{1}{2}\arcsin0,6\right)=-\frac{1-\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin0,6\right)}}{\sin\left(\arcsin0,6\right)}=-\frac{1-\sqrt{1-0,6^2}}{0,6}=\\\\\displaystyle=-\frac{1-\sqrt{1-0,36}}{0,6}=-\frac{1-\sqrt{0,64}}{0,6}=-\frac{1-0,8}{0,6}=-\frac{0,2}{0,6}=-\frac{1}{3}\end{array}$

В принципі, розв'язувати деякі приклади такого типу швидше, якщо запам'ятати або, принаймні, мати під рукою шпаргалку з формулами співвідношень між тригонометричними та оберненими тригонометричними функціями:

	arcsin	arccos	arctg	arcctg
sin	$x$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{1-x^2}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
cos	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{1-x^2}$	$x$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
tg	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	$x$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{1}{x}$
ctg	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{1}{x}$	$x$

Використовувати цю таблицю слід сліва направо, тобто, спочатку знаходимо функцію в лівому стовпчику, а потім шукаємо формулу на перетині обраного рядка зі стовпчиком аркфункції. Наприклад, $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$

Однак, як бачимо з прикладів, ця табличка не охоплює усіх випадків, які можуть бути вам запропоновані для розв'язування, а тому краще просто як слід вивчити тригонометричні формули і вміти вільно їх використовувати.

Ну а якщо вам хочеться ще вправ на цю тему, щоб потренуватися - будь ласка:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{ctg}\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}\left(\operatorname{arcctg}\frac{4}{3}\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\left(\operatorname{arctg}\frac{6}{8}\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{ctg}(\arccos0,6)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{2}{3}\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?18\cos\left(2\arcsin\frac{1}{6}\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?18\sqrt{35}\sin\left(2\arcsin\frac{1}{6}\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos\left(2\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{ctg}\left(4\pi+\operatorname{arcctg}6\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sin\left(\arcsin\frac{\sqrt 2}{2}-\arccos\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)\right)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)-\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$
$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt 5\cos(\operatorname{arctg}2)$	$https://latex.codecogs.com/svg.image?26\sin\left(2\operatorname{arctg\frac{2}{3}}\right)-\operatorname{tg}\left(\frac{1}{2}\arccos\frac{7}{25}\right)$