2022-2023

Розв'яжемо таке цілком "новорічне", з огляду на його коефіцієнти, рівняння: $x^9-2023x^3+\sqrt{2022}=0$

На перший погляд, навіть незважаючи на наявність квадратного кореня серед коефіцієнтів цього рівняння, воно здається простим, яке зводиться до квадратного методом заміни змінної. Однак, на другий, уважний, погляд стає зрозумілим, що заміна змінної, хоч вона і "проситься", ні до чого доброго не приведе, адже, навіть, замінивши змінну $x^3=y$ отримаємо не квадратне, а кубічне рівняння $https://latex.codecogs.com/svg.image?y^3-2023y+\sqrt{2022}=0$ , для розв'язування якого доведеться використовувати формулу Кардано.

Спробуємо обійтися без неї і розв'яжемо рівняння за допомогою лише того, що вивчається в шкільному курсі.

Введемо позначення $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2022}=a$ . Тоді $2023=a^2+1$ . От від цієї підстановки й будемо відштовхуватися: $x^9-(a^2+1)x^3+a=0$ .

Перетворимо тепер рівняння таким чином, щоб отримати рівняння відносно $a$ :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}x^9-(a^2+1)x^3+a=0\\x^9-a^2x^3-x^3+a=0\\-x^3a^2+a+(x^9-x^3)=0\\x^3a^2-a-(x^9-x^3)=0\end{array}$

Розв'яжемо тепер це рівняння відносно $a$ :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}D=1-4\cdot x^3\cdot(-(x^9-x^3))=1+4x^3(x^9-x^3)=1+4x^{12}-4x^6=\\=4x^{12}-4x^6+1=(2x^6-1)^2>0\end{array}$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\displaystyle a_1=\frac{1+\sqrt{(2x^6-1)^2}}{2x^3}=\frac{1+2x^6-1}{2x^3}=\frac{\cancel{2}x^{\bcancel{6}3}}{\cancel{2}\bcancel{x^3}}=x^3\\\displaystyle a_2=\frac{1-\sqrt{(2x^6-1)^2}}{2x^3}=\frac{1-2x^6+1}{2x^3}=\frac{2-2x^6}{2x^3}=\frac{1-x^6}{x^3}\end{array}$

Використаємо тепер введену на самому початку підстановку $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{2022}=a$ :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x^3=\sqrt{2022}\Rightarrow x_1=\sqrt[3]{\sqrt{2022}}=\sqrt[6]{2022}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1-x^6}{x^3}=\sqrt{2022}\\1-x^6=x^3\sqrt{2022}\\-x^6-\sqrt{2022}x^3+1=0\\x^6+\sqrt{2022}x^3-1=0\\x^3=y\\y^3+\sqrt{2022}y-1=0\\D=(\sqrt{2022})^2-4\cdot 1\cdot (-1)=2022+4\cdot 1\cdot 1=2026\\\displaystyle y_1=\frac{-\sqrt{2022}+\sqrt{2026}}{2}=\frac{\sqrt{2026}-\sqrt{2022}}{2}\\\displaystyle y_2=\frac{-\sqrt{2022}-\sqrt{2026}}{2}=\frac{-\sqrt{2026}-\sqrt{2022}}{2}\\\displaystyle x_2=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2026}-\sqrt{2022}}{2}}\\\displaystyle x_3=\sqrt[3]{\frac{-\sqrt{2026}-\sqrt{2022}}{2}}=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2026}+\sqrt{2022}}{2}}\end{array}$

Отже, маємо три дійсних кореня даного кубічного рівняння:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\begin{array}{l}\displaystyle x_1=\sqrt[6]{2022}\approx 3,56;\\ \displaystyle x_2=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2026}-\sqrt{2022}}{2}}\approx 0,28;\\ \displaystyle x_3=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2026}+\sqrt{2022}}{2}}\approx -3,56\end{array}$

Залишається подякувати М.Кучевському за цікаву задачу та ідею її розв'язування.