Що насправді означають координати вектора

Як відомо, вектором називається направлений відрізок, який має дві характеристики: напрям і довжину. А ще будь-який вектор може бути заданий своїми координатами. Що це за числа - координати вектора, і який стосунок вони мають до напрямку й довжини? Ось про це й поговоримо.

Оскільки вектор з'єднує дві точки на координатній площині, то й почнемо розбиратися з нашим питанням саме звідси - з координат точок початку й кінця вектора.

Візьмемо дві довільні точки на площині, наприклад, $A(2;1)$ і $B(5;3)$ . Побудуємо вектор $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}$ .

Правило обчислення координат вектора говорить, що для цього потрібно від координат кінця вектора повіднімати координати його початку, тобто, першою координатою буде $5-2=3$ , (абсциса кінця мінус абсциса початку) а другою $3-1=2$ (ордината кінця мінус ордината початку).

Отже маємо такі координати нашого вектора $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{AB}(3;2)$ .

Залишилося відповісти собі на питання: "А що це ми зробили?" Що ми отримали, коли віднімали відповідні координати точок, на яких побудовано вектор?

Відповідь на це запитання випливає з відповіді на запитання "А що, узагалі кажучи, показує результат віднімання?" А результат віднімання, тобто різниця, показує НА СКІЛЬКИ одне число більше/менше від іншого.

Отже, виходить, що перша координата вектора показує лише те, НА СКІЛЬКИ абсциса кінця вектора віддалена від абсциси його початку. Друга координата вектора показує НА СКІЛЬКИ ордината кінця вектора віддалена від ординати його початку.

От і весь секрет! У нашому випадку абсциса кінця вектора на 3 більша за абсцису початку, а ордината - на 2 більша за ординату початку.

Завдяки цим знанням ми тепер можемо відкласти вектор, рівний даному, з будь-якої точки координатної площини. Якщо, наприклад, потрібно відкласти той самий вектор $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{(3;2)}$ але з точки $A_1(-2,5;-0,5)$ , то для отримання кінця вектора потрібно лише до першої координати точки додати першу координату вектора, а до другої - другу:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?B_1(-2,5+3;-0,5+2)\Rightarrow B_1(0,5;1,5)$

І навпаки, за координатами кінця вектора і координатами самого вектора можна легко визначити координати його початку. Для цього потрібно виконати віднімання: від першої координати кінця вектора відняти першу координату самого вектора, а від другої - другу.

Але це ще не все!

Завдяки цим знанням ми тепер можемо за координатами вектора визначати його НАПРЯМ! Куди напрямлено вектор $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{(3;7)}$ ? Оскільки обидві його координати додатні, то це значить, що абсциса кінця вектора зміщена відносно його початку на +3, а ордината на +7, отже, обидві координати кінця вектора мають значення більші за значення координат початку вектора, тому вектор напрямлено праворуч угору. Куди напрямлено вектор $https://latex.codecogs.com/svg.image?\overrightarrow{(-3;7)}$ ? А от у цього вектора абсциса кінця на 3 менша за абсцису початку, а ордината - більша за ординату початку. Висновок: вектор спрямовано ліворуч угору.

Розгляньте зображені вектори і проаналізуйте як знаки координат вектора визначають його напрям.

Зверніть увагу на те, як знаки координат векторів співпадають зі знаками координатних чвертей, в які вони напрямлені:

(+ ; +) - І чверть → вектор направлено праворуч угору;
(─ ; +) - ІІ чверть → ліворуч угору;
(─ ; ─) - ІІІ чверть → ліворуч униз;
(+ ; ─) - IV чверть → праворуч униз.

Яку ще інформацію про вектор можна "витягнути" з його координат?

Оскільки координати вектора - це, фактично, довжини катетів прямокутного трикутника:

...то цих даних нам достатньо для того, щоб за теоремою Піфагора обчислити його гіпотенузу, яка є ні чим іншим, як довжиною самого вектора: $https://latex.codecogs.com/svg.image?|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ .

Ну й виходячи з того самого прямокутного трикутника за допомогою координат вектора (катетів трикутника) легко можемо встановити кут нахилу вектора:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\operatorname{tg}\angle A=\frac{2}{3}\Rightarrow \angle A=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}\approx 33^{\circ}41'$

А, знаючи кути нахилу векторів, уже можемо вести мову й про їх колінеарність (колінеарні вектори лежать на одній і тій самій прямій або на паралельних прямих, а, значить, матимуть або однакові кути нахилу або кут нахилу одного буде доповнювати другий до 90°).

От як багато інформації можна отримати про вектор, якщо знати лише його координати!