Перетворення періодичних дробів у звичайні

Для перетворення десяткових періодичних дробів у звичайні шкільний курс математики радить нам використовувати формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. Однак, існує інший, коротший спосіб, який тут і розглянемо.

На початку пригадаємо традиційний метод перетворення.

Нехай нам потрібно перетворити на звичайний мішаний періодичний дріб $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}2,144444\ldots=2,1(4)$

Розкладаємо цей дріб на доданки:

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}2,144444\ldots=2+0,1+0,04+0,004+0,0004+\ldots$

Бачимо, що доданки $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}0,04+0,004+0,0004+\ldots$ є членами нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}b_1=0,04$ і знаменником $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}q=0,1$ . Залишилось усе підставити у формулу суми її членів $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}S=\frac{b_1}{1-|q|}$ :

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}S=\frac{0,04}{1-|0,1|}=\frac{0,04}{1-0,1}=\frac{0,04}{0,9}=\frac{4}{90}$

Тепер усе додаємо:

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}2+0,1+\frac{4}{90}=2+\frac{1}{10}+\frac{4}{90}=2+\frac{1^{\(9}}{10}+\frac{4}{90}=2+\frac{9+4}{90}=2\frac{13}{90}$

Отже, $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}2,1(4)=2\frac{13}{90}$

А тепер розглянемо простіший спосіб.

Нехай $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}2,1(4)=x$ . Будемо домножувати обидві частини даної рівності на 10 доти, доки не отримаємо дві рівності з однаковими дробовими частинами:

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\begin{array}{l}2,1(4)=x\ |\cdot 10\\21,(4)=10x\ |\cdot 10\ (*)\\214,(4)=100x\ (**)\end{array}$

Тепер рівності $(*)$ і $(**)$ мають однакові дробові частини і їх можна відняти. Віднімемо від другої рівності першу й отримаємо:

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\begin{array}{l}\_\ 214,(4)=100x\ (**)\\\ \ \ \ 21,(4)=\ 10x\ (*)\\\hline\ \ \ 193\ \ \ \ \ =\ 90x\\\displaystyle \ \ \ \ x=\frac{193}{90}=2\frac{13}{90}\end{array}$

Як бачимо, цей варіант значно коротший і не вимагає знання ніяких спеціальних формул.

Узагалі кажучи, перетворення десяткових періодичних дробів на звичайні можна ЩЕ прискорити, якщо вивчити таке правило:

Щоб записати даний періодичний дріб у вигляді звичайного дробу, потрібно від числа, утвореного цифрами, що стоять до другого періоду, відняти число, утворене цифрами, що стоять до першого періоду, і зробити цю різницю чисельником, у знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, а після дев’ятки дописати стільки нулів, скільки цифр між комою і першим періодом.

У нашому випадку до другого періоду стоїть число 214, а до першого - 21. Отже, в чисельнику потрібно записати 214-21, а в знаменнику буде 90 (у періоді одна цифра, значить і дев'яток теж одна; між комою і початком періоду теж одна цифра, значить після дев'ятки буде один нуль).

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle\frac{214-21}{90}=\frac{193}{90}=2\frac{13}{90}$

Ще один приклад. Перетворимо за цим правилом дріб $https://latex.codecogs.com/png.image?\displaystyle 6,2(53)$ .

Другий період цього числа розпочнеться з четвертого знака після коми, тому перше число чисельника 6253. Перший період розпочинається з третього знака після коми, тому друге число чисельника 62. У знаменнику потрібно поставити дві дев'ятки (період складається з двох цифр) і один нуль (до періоду стоїть одна цифра). Отже, маємо:

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle 6,2(53)=\frac{6253-62}{990}=\frac{6191}{990}=6\frac{251}{990}$

Фактично, для перетворення десяткового періодичного дробу в звичайний потрібно:

Накреслити риску дробу.
В чисельник переписати підряд усі цифри, які бачимо в десятковому дробі.
Поставити знак "мінус"
Після "мінуса" переписати усі цифри, які бачимо ДО дужок, в які узято період.
В знаменнику записати стільки дев'яток, скільки цифр у періоді.
До дев'яток приписати стільки нулів, скільки цифр стоїть між комою і дужками, в які узято період.
Обчислити значення чисельника утвореного дробу.
За потреби скоротити утворений дріб та виділити в ньому цілу частину.

Ну й наостанок ще деякі періодичні десяткові дроби, які корисно знати напам'ять: